Cho B cũ = ( v 1 , … , v n ) {\displaystyle B_{\text{cũ}}=(v_{1},\ldots ,v_{n})} là một cơ sở của không gian vectơ hữu hạn chiều V trên trường F.[lower-alpha 1]

Với mỗi j = 1, ..., n, ta có thể xác định một vectơ wj bất kỳ bởi các tọa độ của nó a i , j {\displaystyle a_{i,j}} đối với cơ sở B cũ : {\displaystyle B_{\text{cũ}}\colon }

w j = ∑ i = 1 n a i , j v i . {\displaystyle w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}.}

Cho

A = ( a i , j ) i , j {\displaystyle A=\left(a_{i,j}\right)_{i,j}}

là ma trận mà cột thứ j là vectơ tọa độ của wj. (Từ đây về sau, chỉ số i luôn để chỉ các hàng của A và các vectơ v i , {\displaystyle v_{i},} còn chỉ số j để chỉ các cột của của A và w j ; {\displaystyle w_{j};} quy ước này nhằm tránh nhầm lẫn trong tính toán tường minh.)

Đặt B mới = ( w 1 , … , w n ) , {\displaystyle B_{\text{mới}}=(w_{1},\ldots ,w_{n}),} ta có B mới {\displaystyle B_{\text{mới}}} là cơ sở của V khi và chỉ khi ma trận A là khả nghịch, hay nói một cách tương đương là nó có định thức khác 0. Trong trường hợp này, A được gọi là ma trận chuyển cơ sở, từ cơ sở B cũ {\displaystyle B_{\text{cũ}}} đến cơ sở B mới {\displaystyle B_{\text{mới}}} .

Cho trước một vectơ z ∈ V , {\displaystyle z\in V,} ta có ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})} là tọa độ của nó đổi với B cũ {\displaystyle B_{\text{cũ}}} , và ( y 1 , … , y n ) {\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})} là tọa độ của nó đối với B mới {\displaystyle B_{\text{mới}}} ; tức là:

z = ∑ i = 1 n x i v i = ∑ j = 1 n y j w j . {\displaystyle z=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}.}

(Ta có thể chọn biến chỉ số lấy tổng giống nhau ở cả hai tổng trên, nhưng việc chọn hai biến chỉ số phân biệt: i cho cơ sở cũ, và j cho cơ sở mới, nhằm làm rõ ràng hơn các công thức suy ra từ đó, và để tránh nhầm lẫn trong chứng minh và tính toán.)

Công thức chuyển cơ sở liên hệ tọa độ đối với cơ sở cũ với tọa độ đối với cơ sở mới. Với cách ký hiệu như trên, nó là

x i = ∑ j = 1 n a i , j y j với  i = 1 , … , n . {\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\qquad {\text{với }}i=1,\ldots ,n.}

Dưới dạng ma trận, công thức chuyển đổi cơ sở có thể viết là

x = A y , {\displaystyle \mathbf {x} =A\,\mathbf {y} ,}

trong đó x {\displaystyle \mathbf {x} } và y {\displaystyle \mathbf {y} } là các ma trận cột gồm các tọa độ của z trong các cơ sở tương ứng B cũ : {\displaystyle B_{\text{cũ}}\colon } và B mới . {\displaystyle B_{\text{mới}}.}

Chứng minh: Sử dụng định nghĩa trên của ma trận chuyển cơ sở, ta có

z = ∑ j = 1 n y j w j = ∑ j = 1 n ( y j ∑ i = 1 n a i , j v i ) = ∑ i = 1 n ( ∑ j = 1 n a i , j y j ) v i . {\displaystyle {\begin{aligned}z&=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\right)v_{i}.\end{aligned}}}

Bởi z = ∑ i = 1 n x i v i , {\displaystyle z=\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i},} công thức chuyển cơ sở là kết quả của sự phân tích duy nhất một vectơ trên một cơ sở.

Phép chuyển cơ sở cũng là một biến đổi tuyến tính, biểu diễn bởi ma trận chuyển cơ sở.